讲台上，秦风手执半截白色粉笔，静静地伫立在巨大的黑板前。

    阳光透过窗棂，在他清瘦却挺拔的身影上投下一片斑驳的光晕，空气中，细小的粉笔尘埃在光柱中飞舞，如同无数微缩的星辰。

    整个高三（七）班，此刻陷入了一种近乎凝固的死寂。

    所有人的目光，都如同被磁石吸引的铁屑，牢牢地钉在秦风的身上，以及他面前那道堪称“地狱级”难度的椭圆综合大题上。

    先前那些幸灾乐祸的窃笑、轻蔑的议论、以及看好戏的眼神，此刻都已悄然隐去，取而代之的，是一种混杂着难以置信、强烈好奇以及一丝丝莫名称之为“期待”的复杂情绪。

    他们实在无法理解，这个平日里连及格线都摸不到的“着名学渣”，究竟是哪里来的勇气，敢在数学老师高远的盛怒与全班同学的注视下，如此从容不迫地走上讲台，去挑战一道连班级顶尖学霸都望而生畏的题目？

    难道他真的疯了？还是说，他隐藏了什么不为人知的秘密？

    高远双手环抱在胸前，斜倚在讲台边缘，嘴角噙着一抹冰冷的讥诮。他倒要看看，这个不知天高地厚的秦风，究竟能在这道题目面前撑多久！他甚至已经想好了，等秦风在黑板前抓耳挠腮、丑态百出之后，自己该如何用最尖酸刻薄的语言，将他那可笑的“自信”彻底碾碎，让他明白什么叫做真正的绝望！

    秦风没有理会周遭的一切。

    他的心神，已经完全沉浸在了眼前的这道题目之中。

    脑海中，“学神黑科技系统”的辅助功能已悄然启动。

    【叮！检测到宿主面临高难度学术挑战，系统辅助模块已激活。】

    【“初级数学思维（碎片）”效果增强，逻辑推演速度提升50，复杂信息处理能力提升30！】

    【正在对当前题目进行多维度解析……解析完毕！已为宿主筛选出最优解题路径三条，请宿主自行选择。】

    冰冷而机械的系统提示音，如同最精准的导航，在秦风的意识深处响起。

    刹那间，那道原本在他眼中依旧显得有些盘根错节、迷雾重重的椭圆大题，仿佛被一只无形的大手拨开了层层迷雾，露出了其内在清晰的逻辑脉络。

    各种相关的定义、定理、公式、辅助线作法、以及不同解题思路的优劣，如同潮水般涌入他的脑海，并被迅速整合、分析、优化。

    “原来如此……”秦风的眼眸深处，闪过一丝了然的精光。

    他深吸一口气，感受着大脑前所未有的清明与活跃，以及那股源于“初级数学思维”碎片的、对数学问题本质的敏锐洞察力。

    然后，他动了。

    手中的粉笔，在所有人的注视下，稳稳地落在了黑板的左上角。

    “唰——”

    清脆的摩擦声响起，打破了教室内的死寂。

    解：

    一个清晰而有力的“解”字，如同点睛之笔，瞬间吸引了所有人的目光。

    紧接着，秦风的笔尖开始在黑板上飞舞起来。

    （1）由题意知，e=ca=22e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}e=ac=22，则 a2=2c2a2 = 2c2a2=2c2

    又因为 a2=b2+c2a2 = b2 + c2a2=b2+c2，所以 2c2 = b2 + c2直线pf2的斜率，直线pf?的斜率 ，直线pf2的斜率k_{pf_2} = \frac{y}{x-c}。由k_{pf_1} \cdot k_{pf_2} = -\frac{1}{2}，得，得 ，得\frac{y2}{(x+c)(x-c)} = -\frac{1}{2}，即\frac{y2}{x2-c2} = -\frac{1}{2}。因为点p(x,y)在椭圆上，所以。因为点p(x, y)在椭圆上，所以 。因为点p(x,y)在椭圆上，所以\frac{x2}{a2} + \frac{y2}{b2} = 1，即，即 ，即y2 = b2(1-\frac{x2}{a2})。代入上式，并结合。

    代入上式，并结合 。代入上式，并结合b2=c2及及及a2=2c2得：\frac{c2(1-\frac{x2}{2c2})}{x2-c2} = -\frac{1}{2} \frac{c2 - \frac{x2}{2}}{x2-c2} = -\frac{1}{2} 2(c2 - \frac{x2}{2}) = -(x2-c2) 2c2 - x2 = -x2 + c2 2c2 = c2

    “嗯？”秦风写到这里，眉头微微一蹙。这个结果显然是错误的。

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    台下，高远嘴角的讥诮更浓了：“怎么？这就卡住了？看来‘大数学家’的水平也不过如此嘛！”

    一些同学也忍不住发出了低低的嗤笑声。

    秦风却恍若未闻，他的大脑在飞速运转。系统虽然给出了最优路径，但具体的推导和计算，依然需要他自己完成。刚才的推导过程中，显然有一个细节被他忽略了，或者说，系统给出的“斜率之积”这个条件，可能有更简洁的应用方式。

    “点p在椭圆上，斜率之积……椭圆的第二定义？

    不对……等等，y2=?12(x2?c2)y2 = -\frac{1}{2}(x2-c2)y2=?21(x2?c2)，这个形式……”

    秦风的目光再次扫过题目条件，脑海中灵光一闪！

    “我明白了！”

    他迅速擦掉了刚才推导错误的部分，粉笔尖再次点向黑板。

    由 kpf1-kpf2=?b2a2k_{pf_1} \cdot k_{pf_2} = -\frac{b2}{a2}kpf1?kpf2=?a2b2 是椭圆的一个固有性质（当焦点在x轴上时，对于非顶点p，其与两焦点连线斜率之积为常数?b2a2-\frac{b2}{a2}?a2b2）。

    因此，?b2a2=?12-\frac{b2}{a2} = -\frac{1}{2}?a2b2=?21，即 a2=2b2a2 = 2b2a2=2b2。

    

    所以，椭圆c的标准方程为：x22+y2=1\frac{x2}{2} + y2 = 12x2+y2=1

    行云流水！

    当秦风写下椭圆标准方程的那一刻，台下那些原本准备看笑话的同学，脸上的表情都微微一僵。

    虽然第一问相对简单，但秦风刚才那短暂的停顿、迅速的纠错、以及最后那句“椭圆的固有性质”，都显示出他对椭圆知识点的掌握，似乎……并没有他们想象中那么不堪？

    尤其是那句“固有性质”，很多同学甚至都没听说过，或者只是在某些参考书的角落里见过，根本没当回事！

    高远也是微微一怔，他没想到秦风竟然知道这个相对冷僻的性质。不过，他很快便恢复了镇定，心中冷笑：“哼，歪打正着罢了！第一问算你蒙混过关，我看你第二问、第三问怎么办！”

    秦风没有理会台下的反应，他的注意力高度集中，粉笔毫不停歇地转向了第二问。

    （2）由（1）知 f1(?1,0),f2(1,0)f_1(-1, 0), f_2(1, 0)f1(?1,0),f2(1,0)。设直线l的方程为 x=y+1x = y+1x=y+1（当直线l斜率k存在时，=1k=\frac{1}{k}=k1；当k不存在时，直线l为x=1x=1x=1，与椭圆交于(1,±22)(1, \p \frac{\sqrt{2}}{2})(1,±22)，此时ab中点为(1,0)(1,0)(1,0)即f?，直径iabi=2|ab|=\sqrt{2}iabi=2，圆心为f?，显然不过f?，故k存在且不为0）。

    将 x=y+1x = y+1x=y+1 代入椭圆方程 x22+y2=1\frac{x2}{2} + y2 = 12x2+y2=1得：

    

    设 a(xa,ya),b(xb,yb)a(x_a, y_a), b(x_b, y_b)a(xa,ya),b(xb,yb)，则 ya+yb=?22+2y_a + y_b = -\frac{2}{2+2}ya+yb=?2+22，yayb=?12+2y_a y_b = -\frac{1}{2+2}yayb=?2+21。

    因为以ab为直径的圆过点f?，所以 f1a??f1b?=0\vec{f_1a} \cdot \vec{f_1b} = 0f1a?f1b=0

    

    代入韦达定理的表达式：

    (2+1)(?12+2)+2(?22+2)+4=0(2+1)(-\frac{1}{2+2}) + 2(-\frac{2}{2+2}) + 4 = 0(2+1)(?2+21)+2(?2+22)+4=0

    

    所以 =±7 = \p \sqrt{7}=±7

    则直线l的斜率 k=1=±17=±77k = \frac{1}{} = \p \frac{1}{\sqrt{7}} = \p \frac{\sqrt{7}}{7}k=1=±71=±77

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